Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entre dos cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial. Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Para resolver los siguientes problemas optimización de cálculo diferencial básico, utilizaremos el siguiente método:

1. Plantear la función \(f\) que debe optimizarse (maximizar o minimizar).

2. Calcular la derivada de la función \(f\).

3. Buscar los puntos críticos de \(f\) igualando a 0 la derivada \(f'\).

4. Estudiar la monotonía de la función (creciente o decreciente) en los intervalos que generan los puntos críticos para determinar el tipo de extremos (relativos o absoluto

Problema 1

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Se va a construir una cisterna rectangular con base y tapa cuadrada que almacenara 10,000 litros de agua. El costo del concreto para la base y las caras laterales es de 180 pesos por m2 mientras que la tapa es de 220 pesos. ¿Cuáles deben ser las medidas de la cisterna para minimizar el costo de su construcción?

V= x2h= 10,000 litros= 10m3            

• Base: 180 pesos= x2

• Caras Laterales= 180 pesos= 4xh

• Tapa= 220 pesos= x2

400x2+720xh                                                                                 h= 10/x2

400x2+720x 10/x2                                                                    400x2+7200/x= 7200x-1

F(x)= 800x+ (-1(7200) x-2                                                           800x-7200x-2=0

F(x)= 800=7200/x2                                                                    x3=7200/800

F(x)= x3=9                                                                                   x=2.08m

H= 10/2.082                                                                                h=2.31m

V=(2.08m)2(2.31)=10m3                                                          

Precio final: 400(2.08)2+720(2.08)(2.31)= 5190.016 pesos

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